Đường trung tuyến trong tam giác cân

     

Đường trung đường trong một tam giác cân tất cả những tính chất gì? Đường trung con đường trong tam giác cân là giữa những kiến thức mà lại yêu cầu học sinh phải học tập và nắm vững để rất có thể áp dụng để gia công bài tập.

Bạn đang xem: Đường trung tuyến trong tam giác cân


Như bọn họ đã biết về quan niệm và tính chất của đường trung tuyến trong một tam giác thường. Vậy đường trung tuyến đường trong tam giác cân có những đặc thù và quánh điểm quan trọng đặc biệt nào khác quanh đó các đặc điểm trong tam giác thường?Bài viết tiếp sau đây sẽ cung cấp khái niệm và một trong những tính chất đặc trưng đó của mặt đường trung con đường trong tam giác cân, các em hãy quan sát và theo dõi nhé.

1. Tư tưởng về đường trung tuyến trong tam giác cân

Cho tam giác ABC cân tại A (như hình dưới), đoạn thẳng AE nối đỉnh A cùng với trung điểm E của cạnh BC được hotline là đường trung tuyến đường (xuất phạt từ đỉnh A hay khớp ứng với cạnh BC) của tam giác cân ABC.

*
Đường trung đường trong tam giác cân nặng là gì?

2. đặc thù đường trung tuyến trong tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng tại A có ba đường trung đường AE, BF cùng CG. Khi đó ta có một số trong những tính hóa học sau:

Tam giác ABE với tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau;Số đo của nhị góc AEB với góc AEC cân nhau và bằng 90 độ hay mặt đường trung tuyến AE vuông góc cùng với cạnh BC;Hai đường trung đường BF và CG có độ dài bằng nhau.
*
Tính chất bố đường trung con đường trong tam giác cân

3. Cách chứng tỏ đường trung con đường trong tam giác cân

Chứng minh các đặc thù trên:

(1) bởi vì AE là mặt đường trung đường của tam giác AMN cần ta có: BE = CE.

Lại bao gồm tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC với góc ABE = góc ACE.

Xét tam giác ABE với tam giác ACE ta có:

+ AB = AC

+ BE = CE

+ AE chung.

Suy ra tam giác ABE và tam giác ACE là nhị tam giác đều nhau (c.c.c).

(2) bởi vì tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau theo chứng tỏ trên.

Khi kia ta được: góc AEB = góc AEC.

Mà (tính chất hai góc kề bù).

Từ các điều bên trên ta suy ra: Số đo của nhị góc AEB cùng góc AEC đều bằng nhau và bởi 90 độ.

Do đó ta có: Đường trung đường AE vuông góc cùng với cạnh BC.

(3) bởi BF với CG là hai tuyến phố trung con đường của tam giác AMN đề xuất ta có: AG = BG với AF = CF.

Suy ra AB = 2AG với AC = 2AF.

Lại bao gồm tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC.

Khi đó ta được: AB = AC = 2AG = 2AF xuất xắc AG = AF.

Xét tam giác AFB cùng tam giác AGC có:

+ AG = AF

+ Góc A chung

+ AB = AC

Do đó tam giác AFB cùng tam giác AGC là hai tam giác bằng nhau (c.g.c).

Suy ra BF = GC.

Khi đó, ta được: hai tuyến đường trung con đường BF cùng CG bao gồm độ dài bởi nhau.

4. Các dạng toán liên quan đến con đường trung đường trong tam giác cân

4.1. Dạng 1: việc chứng minh

*Phương pháp giải:

Dựa vào đặc điểm và các đặc thù của con đường trung con đường trong tam giác cân nặng đã nêu ở trên, ta áp dụng chúng vào để minh chứng những điều mà việc yêu cầu chứng minh.

Ví dụ 1. Cho tam giác MNP cân nặng tại M có tía đường trung con đường MR, NS và PT giảm nhau tại trọng tâm O.

Chứng minh rằng: PO = NO.

Lời giải

Theo chứng tỏ tính hóa học (3) ta có: PT = NS (*).

Áp dụng tính chất ba đường trung con đường trong tam giác ta có:

PO = PT với NO = NS (**).

Từ (*) và (**), ta suy ra PO = NO.

4.2. Dạng 2: Tính độ dài mặt đường trung tuyến

*Phương pháp giải:

Dựa theo giả thiết đề bài đã đưa ra, ta áp dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông để đo lường và tính toán độ dài mặt đường trung tuyến.

Ví dụ 2. đến tam giác MNP cân nặng tại M tất cả đường trung đường kẻ trường đoản cú đỉnh M là MR. Biết độ dài những cạnh sau: MN = MP = 5 centimet và PN = 8 cm. Hãy search độ lâu năm đoạn thẳng MR.

Lời giải

*

Do R là trung điểm của cạnh PN cần ta có: PN = 2PR = 8 cm.

Suy ra truyền bá = 4 cm.

Lại có , đề xuất suy ra tam giác MRP vuông tại R.

Trong tam giác MRP vuông tại R có:

MR2 + PR2 = MP2 (định lý Pi – ta – go)

Suy ra MR2 = MP2 – PR2.

Xem thêm: Top 4 Phần Mềm Thay Đổi Giọng Nói Trên Điện Thoại, Cùng Tìm Hiểu Top 6 App Chỉnh Giọng Đỉnh Của Chóp

Theo giả thiết ta gồm MP = 5 cm, khi đó ta có:

MR2 = 52 – 42 = 9.

Do đó, ta được MR = 3 cm.

5. Một số bài tập áp dụng tính chất đường trung tuyến đường trong tam giác cân

Bài 1. mang lại tam giác MNP cân tại M có ba đường trung con đường MR, NS với PT cắt nhau tại giữa trung tâm O. Trong số đáp án sau đây hãy chỉ ra câu trả lời SAI:

MS = MTSN = TPSN = 2SOPN = 2PRĐÁP ÁN

Ta có:

+ vì chưng S và T theo thứ tự là trung điểm của MP cùng MN, bắt buộc ta được MS = PS cùng MT = NT.

Lại có: MP = MN (tam giác MNP cân nặng tại M)

Suy ra MS = MT.

+ SN = TP (theo chứng tỏ tính chất 3).

+ PN = 2PR, do R là trung điểm của PN.

Chọn câu trả lời C.

Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M bao gồm đường trung đường MR. Biết số đo của góc MNP bởi 60 độ. Hãy cho biết thêm số đo góc PMR.

20 độ30 độ45 độ60 độĐÁP ÁN

*

Ta gồm tam giác MPR bằng tam giác MNR (theo chứng tỏ tính chất 1).

Suy ra: góc PMR = góc NMR (1).

Trong tam giác MNR vuông tại R có: .

Theo mang thiết có số đo của góc MNP bằng 60 độ, nên ta được:

(2).

Từ (1) với (2), suy ra số đo góc PMR là 30 độ.

Chọn giải đáp B.

Bài 3. Cho tam giác MNP cân tại M có ba đường trung tuyến đường MR, NS và PT cắt nhau tại giữa trung tâm O.

Chứng minh rằng: SO = TO và tam giác OPN cân nặng tại O.

ĐÁP ÁN

Ta bao gồm SO + ON = SN cùng TO + OP = TP.

Do OP = ON (theo chứng minh của ví dụ như 1) và

SN = TP (chứng minh đặc điểm 3).

Từ đó ta được SO = TO.

Vì OP = ON (theo chứng minh của ví dụ như 1), ta suy ra tam giác OPN cân tại O.

Bài 4. đến tam giác MNP cân nặng tại M có tía đường trung tuyến đường MR, NS với PT giảm nhau tại trọng tâm O. Biết độ dài những cạnh sau: MR = 12 cm và PN = 6 cm. Hãy tính độ dài đoạn trực tiếp PT cùng NS.

ĐÁP ÁN

Do R là trung điểm của cạnh PN đề nghị ta có: PN = 2PR = 6 cm.

Suy ra quảng bá = 3 cm.

Vì điểm O là trung tâm của tam giác MNP, yêu cầu ta có:

OR = MR = . 12 = 4 (cm).

Trong tam giác PRO vuông tại R có:

OR2 + PR2 = PO2 (định lý Pi – ta – go).

Suy ra PO2 = 42 + 32 = 25 hay PO = 5 cm.

Lại tất cả điểm O là trung tâm của tam giác MNP, đề nghị PO = PT.

Suy ra PT = PO = . 5 = (cm).

Vậy PT = NS = cm.

Bài viết bên trên đã cung ứng một số điểm sáng cùng với định nghĩa và các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân, mong phụ thuộc đó các em gồm thể dứt xuất sắc các bài tập tương quan đến phần kỹ năng này.